Transformasi Laplace

Transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier yang rumit menjadi lebih mudah. Dengan metode ini, fungsi umum seperti fungsi sinusoida, fungsi sinusoida teredam, dan fungsi eksponensial menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks. Bila persamaan aljabar dalam s dipecahkan, maka penyelesaian dari persamaan diferensial (transformasi Laplace balik dari variabel tidak bebas) dapat diperoleh dengan menggunakan tabel transformasi Laplace.

Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial.
Selain menjadi alternatif yang berbeda dan efisien untuk variasi parameter dan koefisien tak tentu, metode Laplace sangat menguntungkan untuk istilah input yang didefinisikan secara diskrit, periodik, atau impulsif.
f(t) yang didefinisikan untuk 0 ≤ t < ∞ adalah masalah integrasi kalkulus biasa

Transformasi Laplace langsung atau integral Laplace dari suatu fungsi secara ringkas dinotasikan L(f(t)) dalam literatur sains dan teknik. L–notasi mengakui bahwa integrasi selalu berjalan dari t = 0 ke t = ∞ dan bahwa integral melibatkan integrator e −stdt bukan dt biasa. Perbedaan kecil ini membedakan integral Laplace dari integral biasa yang ditemukan di bagian dalam sampul teks kalkulus.
1. Pendahuluan metode Laplace
Landasan teori Laplace adalah hukum Lerch Cancellation

Dalam aplikasi persamaan diferensial, y(t) adalah yang dicari tidak diketahui sedangkan f(t) adalah ekspresi eksplisit yang diambil dari tabel integral. Di bawah ini, kami mengilustrasikan metode Laplace dengan memecahkan masalah nilai awal.

Metode tersebut memperoleh relasi L(y(t)) = L(−t), di mana hukum pembatalan Lerch mengimplikasikan penyelesaiannya adalah y(t) = −t.

Metode Laplace dikenal sebagai metode pencarian tabel, di mana solusi y(t) untuk persamaan diferensial ditemukan dengan mencari jawabannya di tabel integral khusus.

Integral Laplace disebut integral Laplace dari fungsi g(t). Ini didefinisikan oleh dan bergantung pada variabel s. 

contoh :

Bentuk Transformasi Laplace dar f(t)=e^αt

 g(t) = 1, g(t) = t dan g(t) = t² , menghasilkan rumus integral pada penyelesaian di bawah ini.