Fungsi Alih

Fungsi alih sistem linear parameter konstan didefinisikan sebagai perbandingan dari transformasi Laplace keluaran (Response Function) dan transformasi Laplace masukan (Driving Function), dengan anggapan bahwa semua syarat awal adalah nol, Sebagai contoh perhatikan bentuk umum persamaan diferensial berikut ini :

dengan ketentuan n>m

y adalah keluaran sistem dan

x adalah masukan sistem

Fungsi alih dari sistem di atas diperoleh dengan mencari transformasi Laplace dari kedua ruas persamaan tersebut, dengan menganggap bahwa semua syarat awal adalah nol. Fungsi alihnya adalah:

Fungsi alih adalah suatu ekspresi yang merelasikan keluaran dan masukan suatu sistem linear parameter konstan dalam bentuk parameter sistem dan merupakan sifat dari sistem itu sendiri, tidak tergantung pada fungsi masukan atau penggerak. Fungsi alih mencakup satuan-satuan yang diperlukan untuk merelasikan masukan dengan keluaran. Meskipun demikian, fungsi alih tidak memberikan informasi mengenai struktur fisik dari sistem. Fungsi alih dari beberapa sistem fisik yang berbeda mungkin identik

Dengan menggunakan konsep fungsi transfer, dimungkinkan untuk mewakili dinamika sistem dengan persamaan aljabar dalam s. Jika pangkat tertinggi s dalam penyebut fungsi transfer sama dengan n, sistem ini disebut orde ke-n (N^TH-ORDER)

Transformasi Laplace sebagai alat untuk menyelesaikan perbedaan diferensial biasa. Kita telah melihat bagaimana kita dapat mengubah persamaan diferensial yang menghubungkan input ke output, dengan mengambil transformasi Laplace dari kedua sisi, menata ulang secara aljabar, dan menyelesaikan waktu respons dari output dengan menggunakan transformasi Laplace terbalik.

Hubungan umum antara input dan output untuk sistem linear, time-invariant disebut fungsi transfer. Kita akan melihat kegunaan karakterisasi ini dalam pembahasan berikut. Pertimbangkan persamaan diferensial berikut dan asumsikan bahwa itu memodelkan sistem teknik sederhana

 

Maka f(t) merepresentasikan input ke sistem dan x(t) merepresentasikan output, atau respons sistem terhadap input f(t). Untuk alasan yang akan dijelaskan nanti, perlu diasumsikan bahwa kondisi awal yang terkait dengan persamaan diferensial adalah nol. Dalam persamaan di atas ini berarti kita mengambil x0 = 0. Mengambil transformasi Laplace dari hasil persamaan

Fungsi X(s)/F(s) disebut Fungsi Alih. Ini adalah rasio transformasi Laplace dari output ke transformasi Laplace dari input. Ini terbuka dilambangkan dengan G (s). Karena itu

Konsep fungsi transfer sangat berguna dalam rekayasa. Ini memberikan hubungan aljabar sederhana antara input dan output. Dengan kata lain, memungkinkan analisis sistem dinamis berdasarkan persamaan diferensial dengan cara yang relatif mudah. Sebelumnya perlu dicatat bahwa perlu mengasumsikan kondisi awal nol untuk membentuk fungsi transfer. Tanpa asumsi seperti itu, hubungan antara input dan output akan menjadi lebih rumit. Kondisi awal dapat menyatakan jumlah energi yang tersimpan dalam sistem pada t = 0. Hubungan masukan-keluaran akan bervariasi tergantung pada energi ini. Dengan mengasumsikan kondisi awal nol, fungsi transfer hanya bergantung pada karakteristik sistem. Pendekatan seperti itu, meski sangat nyaman, memang memiliki keterbatasan.

BLOCK DIAGRAM

Kita telah memiliki gambaran konseptual tentang hubungan antara input dan output, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Representasi ini secara umum disebut sebagai diagram blok. Perhatikan bahwa meskipun fungsi transfer menghubungkan Laplace input ke Laplace output, diagram blok sering ditunjukkan dengan respons waktu input dan output, di mana hubungan yang tepat antara input dan output tersirat.

Saat membuat model matematis dari suatu sistem teknik, sering kali kita cenderung untuk memikirkan variabel di dalam sistem sebagai sinyal dan elemen sistem sebagai sarana untuk memodifikasi sinyal ini. Kata sinyal digunakan dalam arti yang sangat umum. Misalnya dalam teknik kelistrikan dapat berupa tegangan. Atas dasar ini setiap elemen dari sistem dapat dimodelkan dengan fungsi transfer sementara sinyal direpresentasikan sebagai panah

Para insinyur sering berbicara tentang domain waktu dan domain s untuk membedakan antara dua representasi matematis dari sistem teknik. Namun, penting untuk menekankan kesetaraan antara kedua domain tersebut. Seringkali ketika membangun model matematis dari suatu sistem, akan lebih mudah untuk mendapatkan fungsi transfer dari elemen-elemen sistem terlebih dahulu dan kemudian menggabungkannya. Diagram blok terdiri dari tiga komponen dasar, yaitu blok dasar, titik penjumlahan, dan titik take-off.

Kita telah memeriksa blok dasar yang diatur oleh hubungan Y(s) = G(s)U(s). Titik penjumlahan menambahkan bersama sinyal masuk ke titik penjumlahan dan menghasilkan sinyal keluar. Polaritas sinyal yang masuk dilambangkan dengan tanda positif atau negatif. Mungkin ada beberapa sinyal masuk tetapi hanya satu sinyal keluar. take-off point adalah titik di mana sinyal diambil. Proses pengambilan sinyal ini tidak berpengaruh pada nilai sinyal.

ATURAN PENGOPERASIAN

LINIERITAS

Kita tahu bahwa fungsi transfer adalah untuk mendeskripsikan persamaan diferensial biasa invarian-waktu linier, sehingga kita dapat menduga bahwa karakterisasi yang dihasilkan memperlihatkan sifat-sifat linearitas yang telah kita bahas sebelumnya. Perhatikan hubungan berikut ini:

 

Misalkan kita memiliki input U1(s), sehingga kita dapatkan Y1(s):

Apa yang terjadi apabila kita mengalikan Input dengan konstanta k

Misalkan kita memiliki masukan lain U2(s) yang menghasilkan Y2(s). Apa yang dihasilkan jika kita menjumlahkan kedua input tersebut?

Jadi fungsi transfer adalah representasi dari sistem linier, dan sifat-sifat yang kita bahas sebelumnya dalam kursus berlaku.

MANIPULASI BLOK DIAGRAM

Sama seperti sistem mekanik dan listrik, diagram blok biasanya dapat direduksi menjadi representasi yang disederhanakan. Ini merupakan cara yang sangat berguna yang akan kita gunakan pada pembahasan kedepannya

DUA FUNGSI ALIH YANG DIHUBUNG SERI

Pertama perhatikan dua fungsi transfer secara seri, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini

Kita dapat menentukan fungsi transfer ekuivalen dengan cara berikut:

Sehingga kita dapatkan

DUA FUNGSI ALIH YANG DIHUBUNG PARALEL

Misalkan kita memiliki dua fungsi transfer secara paralel, seperti yang ditunjukkan pada gambar

Sehingga kita dapatkan :

FUNGSI ALIH DALAM FEEDBACK

Perhatikan kombinasi dua fungsi transfer melalui umpan balik negatif seperti yang ditunjukkan pada Gambar

Keluaran sistem dapat ditulis sebagai :

dan X(s) dapat ditulis

Sehingga kita dapatkan

Dan persamaan Y(s) dapat diselesaikan menjadi

Sistem teknik yang rumit dapat memuat banyak persamaan diferensial. Keluaran dari satu bagian sistem dapat menjadi masukan pada bagian yang lain. Seperti ilustrasi pada contoh berikut ini:

CONTOH

Suatu sistem dimodelkan oleh beberapa persamaan diferensial

Pada persamaan pertama inputnya adalah f(t) dan outputnya adalah x(t), sedangkan pada persamaan kedua, x(t) adalah inputnya dan y(t) adalah output akhir dari sistem tersebut. Temukan fungsi transfer sistem keseluruhan dengan asumsi kondisi awal nol.

PEYELESAIAN

Menggunakan definisi fungsi transfer, untuk setiap persamaan dapat ditunjukkan bahwa:

Diagram blok untuk sistem dapat digabungkan menjadi satu blok seperti yang ditunjukkan di bawah ini

Oleh karena itu, fungsi transfer sistem secara keseluruhan adalah: